Assalamu’alaikum Wr.Wb. Salam sehat dan salam bahagia untuk kita semua. Minggu lalu kalian sudah mempelajari Program Linear. Untuk kali ini kita akan melanjutkan materi pembelajaran tentang Barisan dan Deret Aritmatika. Namun Terlebih dahulu marilah kita berdoa bersama. Selanjutnya silahkan untuk melakukan Persensi online terlebih dahulu. Berikut ini linksnya:
Barisan Aritmatika
Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa penjumlahan yang memiliki beda atau selisih yang sama/tetap.
Suatu barisan U1 , U2 , U3 ,…, Un disebut barisan aritmatika jika selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap, selisih tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan “b”.
Jadi, b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un – Un-1
Jika suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan aritmatika adalah:U1 = aU2 = U1 + b = a + bU3 = U2 + b = a + 2bU4 = U3 + b = a + 3b…Un = Un-1 + b = a + (n – 1)b.
Bentuk Un = a + (n – 1)b ; untuk n bilangan asli ini merupakan bentuk umum dari barisan aritmatika.
Keterangan:
a = U1 = Suku pertama
b = beda
n = banyak suku
Un= Suku ke-n
Contoh Soal.
Diketahui suatu barisan aritmatika: -7, -2, 3, 8, 13, 18, ….
Tentukan:
a. Suku pertama
b. Beda
c. Suku ke 48
Pembahasan:
Barisan aritmatika: -7, -2, 3, 8, 13, 18, ….
a. Suku pertama (a) = -7
b. Beda (b) = U₂ – U₁
= -2 -(-7)
= -2 + 7
= 5
c. Suku ke 48
Un = a + (n – 1)b
U₄₈ = a + (48 – 1)b
= -7 + (48 – 1).5
= -7 + (47).5
= -7 + 235
= 228
Deret Aritmatika (Deret Hitung)
Arti dari deret aritmatika disini adalah penjumlahan dari semua anggota barisan aritmatika secara berurutan. Sehingga bentuk umum dari deret aritmatika adalah:a + (a + b) + (a + 2b) + …+ {a + (n -1)b}
Jumlah n suku pertama deret aritmatika (Sn) dirumuskan sebagai:
Sn = n/2 (a + Un ) atau Sn = n/2{2a + (n – 1)b}
Contoh Soal.Diketahui barisan aritmatika 27, 24, 21, ….
Tentukan jumlah 20 suku pertama barisan tersebut.
Pembahasan:
Barisan: 27, 24, 21, ….
Suku pertama (a) = 27
Beda (b) = 24 – 27 = -3
Un = a + (n – 1)b
U₂₀ = 27 + (20 – 1).(-3)
= 27 + (19).(-3)
= 27 – 57
= -30
Sn = n/2 (a + Un )
S₂₀ = 20/2 (a + U₂₀)
= 10 (27 + (-30))
= 10 (-3)
= -30
Jadi, jumlah 20 suku pertama barisan tersebut adalah -30
Hubungan antara barisan (Un) dan deret aritmatika (Sn)
Hubungan antara barisan (Un) dan deret aritmatika (Sn) dapat dilihat pada persamaan di bawah ini.
Un = Sn – Sn-1
Sisipan Barisan Aritmatika
Misalkan U1 , U2 , U3 , …, Un adalah barisan aritmatika dengan suku pertama U1 = a, beda = b, banyaknya suku = n. Apabila di antara dua suku disisipkan k buah bilangan (suku baru) sehingga membuat barisan aritmatika yang baru, maka: Barisan semula : a, a+b, a+2b, … Barisan baru: a, (a + b), (a + 2b), …, (a + kb), a + (k + 1)b,…
Di antara barisan semula dan barisan baru diperoleh hubungan:1. Beda baru (b’) => b’ = b : (k + 1)2. Banyaknya suku baru (n’) => n’ = n + (n – 1)k3. Jumlah n suku pertama sesudah sisipan (Sn ‘) => Sn ‘ = n’/2 x (a + Un )
Untuk lebih memantapkan pemahaman konsep di atas ikutilah contoh soal berikut ini:
Diketahui barisan aritmatika 2, 7, 12, 17, 22, … Tentukanlah suku ke 15
Jawab
a = 2
b = 5
n = 15
maka
U15 = a + (15 – 1)b
U15 = 2 + (14)5
U15 = 2 + 70
U15 = 72
Diketahui deret aritmatika 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + … , tentukanlah Jumlah sampai 13 suku pertama
Jawab
Diketahui 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + …
Maka
a = 4
b = 3
n = 13
Sehingga:
S13 = ½ (13) [2a+(6+1)b] = ½ (13) [2 . 4 + (13)3] = ½ (13) [44] = 286
Suatu barisan aritmatika diketahui suku ke tiga adalah 12 dan suku ke enam adalah 27. Tentukanlah suku ke 9
Jawab
U3 = 12 → a + (3 – 1)b = 12 → a + 2b = 12 ………………………….. (1)
U6 = 27 → a + (6 – 1)b = 27 → a + 5b = 27 .. ….…………………….. (2)
sehingga a + 2(5) = 12 maka a = 2
Jadi
U9 = a + (9 – 1)b
U9 = 2 + (8)5
U9 = 42
Jika diketahui 3 + 5 + 7 + 9 + … + x = 99 maka tentukanlah nilai x
Jawab
Diketahui 3 + 5 + 7 + 9 + … + x = 99
Maka :
a = 3
b = 5 – 3 = 2
Sn = 99
Sehingga:
Sn = ½ n [2a+(n+1)b]
99 = ½ n [ 2(3) + (n – 1)2 ]
198 = n [ 6 + 2n – 2 ]
198 = n [ 4 + 2n ]
198 = 4n + 2n2
2n2 + 4n – 198 = 0
n2 + 2n – 99 = 0
(n – 9)(n + 11) = 0
n = 9
Jadi
x = U9
x = a + (9 – 1)b
x = 3 + (8)2
x = 19
Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika ditentukan dengan rumus Sn = 2n2 + 4n, maka tentukanlah suku ke 5
Jawab
Sn = 2n2 + 4n
Maka
S5 = 2(5)2 + 4(5) = 50 + 20 = 70
S4 = 2(4)2 + 4(4) = 32 + 16 = 48
Jadi U5 = S5 – S4 = 70 – 48 = 22
Andi selalu menabung di bank secara rutin setiap awal bulan sebesear Rp. 200.000,-. Jika pada pertengahan Januari 2012, Andi telah mempunyai uang Rp. 600.000 di bank tersebut, maka berapakah banyaknya uang Andi pada pertengahan bulan Desember ?
Jawab
Diketahui :
a = 600.000
b = 200.000
n = 11 (Dari Februari 2012 sampai Desember 2112 )
Maka U11 = a + (11 – 1)b = 600000 + (10)200000 = 2.600.000
Jadi banyaknya uang Andi pada pertengahan bulan Desember adalah Rp. 2.600.000
Suatu bioskop memiliki 10 deretan bangku. Pada deretan pertama ada 20 bangku. Pada deretan kedua ada 24 bangku. Pada deretan ketiga ada 28 bangku, dan seterusnya. Berapa banyak bangku dalam bioskop tersebut ?
Jawab
Diketahui :
n = 10
a = 20
b = 4
Ditanya : S10
Jawab :
Sn = ½ n (2a + (n – 1)b)
S10 = ½ 10 (2[20] + (10 – 1)4)
S10 = 5 (40 + 36)
S10 = 5 (76)
S10 = 385 bangku
Untuk file materi dapat kalian download
Berikut ini soal yang harus kalian kerjakan dan kumpulkan via link yang sudah disediakan dibawah soal.
Sebelum saya akhiri pembelajaran daring hari ini. Saya harapkan kalian untuk stay safe, stay healthy, and stay at home. Marilah kita akhiri pembelajaran daring hari ini dengan berdoa bersama. Terimakasih
Wassalamu’alaikum Wr.Wb.
Roemahijau 